\(0 \le x \lt \frac{\pi}{2}\)일 때, 방정식 \(3\cos^2 x - \sin x\cos x - 2\sin^2 x = 0\)의 실근을 구하는 과정을 서술하시오.

수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_1 = 3\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_{n+1} = 3S_n + 2\)를 만족시킬 때, \(\log_3 \frac{8}{a_6}\)의 값과 \(S_7\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x) = x^2 - 3x + k\)에 대하여 함수 \(y = \frac{3x+1}{2\{f(x)\}^2 - 2xf(x) + 5f(x)}\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(t (0 \le t \le 3)\)에 대하여 점 \((t, \sqrt{27-t^3})\)과 원점 사이의 거리의 제곱을 \(f(t)\)라 하자. 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(t)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M, m\)이라 할 때, \(M \times m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(-\frac{1}{4} \lt x \lt \frac{3}{4}\)에서 기울기가 양수이고 점 \((\frac{1}{4}, 0)\)을 지나는 직선과 함수 \(y = \tan 2\pi x\)의 그래프가 만나는 두 점의 \(x\)좌표를 각각 \(a, b (a \lt b)\)라 하자. \(a + 2b = \frac{7}{6}\)일 때, \(\sin (2a+b)\pi\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'(3)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. \(0\)이 아닌 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\frac{3}{4}f'(x) - f'(0) + \frac{23}{4}x^2 - 4 \le \frac{f(3x) - f(0)}{3x} \le \frac{1}{2}x^4 + 5x^2\]

최고차항의 계수가 \(1\)인 다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x \to 0} \left\{ \left(x^2 + \frac{1}{x}\right) f(x) \right\}\)가 존재한다.
(다) \(\lim_{x \to -1} \left\{ \left(x^2 + \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)} \right\} = 3\) \(\int_{-2}^2 |f(x)| dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

점 \(A\)의 좌표를 \((-2,0)\)이라 하고, 함수 \(f(x) = \log_2 (x+2)\)의 그래프가 \(y\)축과 만나는 점을 \(B\)라 하자. \(2\) 이상인 자연수 \(n\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 \(x\)좌표가 \(2^n\)인 점을 \(P\)라 하고 두 삼각형 \(PBO\), \(PBA\)의 넓이의 차를 \(S_n\)이라 할 때, \(S_n \gt 2026\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = (x-2)(x-a)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식 \(F(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)일 때, \(F(0)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(2 \lt a \le 6\))

공비 \(r\)가 음수인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. \(\frac{S_4-S_1}{S_{10}-S_4} = \frac{64}{9}\) 일 때, \(r\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a_1 \neq 0, r \neq -1\))

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^4-5}-f(x)}{6x^2+1} = \frac{1}{3}\) 일 때, 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(1-x)-f(x) & (x \lt 1) \\ f(x) & (x \ge 1) \end{cases}\) 라 하자. 함수 \(g(x)\)가 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, \(f(3)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = 5^{3x+3} - 5^{2x+\log_2 k}\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(a\)라 하자. \(1 \le a \le 3\)을 만족시키는 모든 \(k\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)와 두 실수 \(a, b\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a + b + f(3)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 함수 \(g(x) = \frac{x}{f(x^2+9)}\) 는 \(x = a\)에서만 불연속이다.
(나) \(\lim_{x\to -3} \frac{f(x-2)}{f(x^2)} = b\)

그림과 같이 중심이 \(O\)이고 길이가 \(6\)인 선분 \(AB\) 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(AB\) 위의 점 \(P\) 에 대하여 \(\overline{PB} = \overline{PC}\) 가 되도록 호 \(PA\) 위에 점 \(C\) 를 잡는다. 선분 \(OP\) 가 선분 \(BC\) 와 만나는 점을 \(D\)라 하자. 사각형 \(ACPD\)가 평행사변형일 때, 선분 \(AP\) 의 길이와 \(\sin(\angle PBC)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \int_{0}^{2} f(t)dt + \left\{\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2}}f(t)dt\right\}^2\) 이다.
(나) 임의의 두 실수 \(x_1, x_2\) (\(x_1 \lt x_2\))에 대하여 \(f(x_2) - 3x_1^2 \gt f(x_1) - 3x_2^2\) 이 성립한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)가 \(0 \le x \lt 1\)일 때 \(g(x) = f(x) + ax^2\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x + 1) = g(x) + b\)를 만족시킨다. \(\int_{2}^{3} g(x)dx = \frac{79}{12}\) 일 때, \(a\)와 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수가
\(f'(x) = \begin{cases} -2 & (x \gt b) \\ -4x^3 - 12x^2 - 9x - 2 & (x \le b) \end{cases}\)
이다. 함수 \(g(x) = |f(x)|\)이고 세 집합 \(A, B, C\) 를
\(A = \left\{x \mid \lim_{h\to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = 0\right\}\),
\(B = \left\{x \mid \lim_{h\to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = 0\right\}\),
\(C = \{g(x) \mid x \in A\}\)라 할 때, \(n(A) = 3, n(B) = 2, n(C) = 2\)이다. 집합 \(C\) 의 모든 원소를 구하는 과정을 서술하시오.

시각 \(t = 0\)일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)가 있다. 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 점 \(P\) 의 속도 \(v_1(t)\)와 점 \(Q\)의 가속도 \(a_2(t)\)는 \(v_1(t) = -\frac{1}{2}t^2 + \frac{5}{2}t\), \(a_2(t) = 2t - \frac{1}{2}\) 이다. 시각 \(t = k\)일 때, 두 점 \(P, Q\)의 속도가 같고 점 \(Q\)의 가속도가 점 \(P\) 의 가속도의 \(7\)배이다. \(t = 0\)에서 \(t = k\)까지 두 점 \(P, Q\)가 움직인 거리의 차를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

상수 \(a\)와 \(\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\)에 대하여, 이차방정식 \(3x^2 - \sqrt{5}x + a = 0\)의 해가 \(\sin \theta, \cos \theta\) 이다. \(\sin \theta - \cos \theta\)의 값을 \(b\)라 할 때, \(ab\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

부등식 \(\log_2\frac{x}{8} \times \log_2\frac{x}{64} \lt 40\) 을 만족시키는 자연수 \(x\) 의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 실수인 등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_2 a_3 = \frac{3}{2}\), \(a_7 a_8 = 54\) 일 때, \(a_5^2\) 의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 세 수 \(a_2\), [①], \(a_8\) 이 이 순서대로 등비수열을 이루고, 또한 세 수 \(a_3\), [②], \(a_7\) 이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 \(a_5^4 =\) [③] 이다. 따라서 \(a_5^2\) 의 값은 [④] 이다.

\(\pi \le x \lt 2\pi\) 에서 \(x\) 에 대한 방정식 \(|6\sin x+1|=k\) 가 서로 다른 세 실근 \(\alpha, \beta, \gamma\) (\(\alpha \lt \beta \lt \gamma\)) 를 가질 때, \(k\left(\frac{\beta+\gamma}{\alpha}\right)\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(k\) 는 상수이다.)

곡선 \(C: y=x^4-5x^3-9x^2+2x-3\) 위의 \(x\)좌표가 양수인 점에서 접하는 직선 중 기울기가 최소인 접선의 방정식을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
곡선 \(C\)에 접하는 접선의 접점의 \(x\)좌표를 \(t\), 접선의 기울기를 \(f(t)\)라 하면, \(t=\) [①] 일 때 \(f(t)\)는 최솟값 [②] 을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점은 점 \(([③])\)이고 접선의 방정식은 \(y=\) [④] 이다.

두 집합 \(A=\{x| (\frac{1}{4})^{-x^2+5x+3} \lt 4^{x-6}, x \text{는 정수}\}\), \(B=\{x| x = 3 - a_2 \times (\frac{1}{3})^{-2a-k}, a \in A\}\) 에 대하여 집합 \(B\) 의 모든 원소의 곱이 \(1\) 일 때, 상수 \(k\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 \(1\)인 모든 사차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f(2)\)의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 4\)
(나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(|f(x)|\le |x g(x)|\) 이고, \(g(0)=-4\) 인 연속함수 \(g(x)\) 가 존재한다.

최고차항의 계수가 \(1\)이고 모든 항의 계수가 정수인 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x)=f(x)+2f'(x)\) 라 하자. \(f(0)=g(0)=0\) 이고, \(x\ge k\) 인 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(x)\ge 0\) 을 만족시키는 실수 \(k\)의 최솟값이 \(0\)일 때, \(f(2)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x)=\int_{0}^{x} f'(t)dt+(x^2+x+1)f(x)+1\) 이라 할 때, 함수 \(g(x)\) 가 \(x=0\) 에서 극솟값 \(-1\) 을 갖는다. \(g(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 두 실수 \(a, b\) 의 순서쌍 \((a,b)\) 를 모두 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(f(x)\) 는 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=f(x)\) 를 만족시키는 다항함수이다.
(나) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^2}{x-a} = b\)
(다) \(\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{(x-a)^k} = 1\) 인 자연수 \(k\) 가 존재한다.

함수 \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + a\)가 닫힌구간 \([-1, 6]\)에서 최솟값 \(-40\)을 갖는다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)가 만나는 점의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 상수 \(k\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

\(\sin\theta\tan\theta = -\dfrac{8}{3}\)일 때, \(\sin\left(\dfrac{3\pi-\theta}{2}\right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\))

첫째항이 \(a\)이고 공차가 \(2a\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{5}{7}\)일 때, \(a_3\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \gt 0\))

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서 만나고, \(x \le a\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(f(x) \le 0\)이 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값은 \(4\)이다. \(f(0) = -16\)일 때, \(f(3)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(a\)와 \(6\) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 순서쌍 \((a, n)\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(2a^2 - 9a + 4 = 0\)
(나) \(a^{3n^2 - 17n} \lt a^{n^2 - 30}\)

\(0\)이 아닌 세 수 \(a, b, c\)에 대하여, \(x\)에 대한 이차방정식 \(ax^2 - 2bx + c = 0\)이 \(x=3\)에서 중근을 갖는다. 한편, 세 수 \(a, 5, c\)가 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(a, b, c\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

양의 실수 \(a\)에 대하여 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f(1) = -\dfrac{24}{5}\)
(나) \(\lim_{x \to a} \left\{ \dfrac{2}{f(x)} - \dfrac{5}{(x-a)^2} \right\} = 5\)
\(f(8)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

원에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 대각선 \(AC, BD\)가 만나는 점을 \(E\)라 하자. \(BD = 6\), \(\angle BAD = 60^\circ\)이고 대각선 \(AC\)는 \(\angle BAD\)를 이등분하며 \(\angle ABD = 45^\circ\)이다. 삼각형 \(ABE\)의 넓이를 \(S\), 삼각형 \(CDE\)의 넓이를 \(T\)라 할 때, \(S-T\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

삼각형 \(ABC\)와 삼각형 \(ABD\)가 동일한 원에 내접하므로 사인법칙을 사용하면 \(BC\)의 값은 [①] 이다. \(\angle CBD = \angle CAD\)이므로 \(\angle ABC = 75^\circ\)이다. \(x = AB = AC\)라 하고 삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙을 사용하면 \(x^2\)의 값은 [②] 이다. 따라서 삼각형 \(ABC\)의 넓이의 값은 [③] 이다. 한편 \(\angle CBD = \angle CDB\)이므로 \(CD = BC\)이다. 따라서 삼각형 \(BCD\)의 넓이는 \(3\sqrt{3}\)이다. 삼각형 \(ABC\)와 삼각형 \(BCD\)는 삼각형 \(BCE\)를 공통으로 포함하므로 \(S-T\)의 값은 [④] 이다.

상수 \(a\)에 대하여 함수
\[f(x) = \begin{cases} x^3 - 3ax^2 + 2ax + 1 & (x \le 1) \\ -4x + 3 & (x \gt 1) \end{cases}\]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(\int_{-1}^9 f(x)\,dx - \int_2^9 f(x)\,dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\)중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \((-1, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = g(x) - \frac{x}{1+x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ① ], \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ② ] .

\(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ③ ] ,

\(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ④ ] 이다.

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \((k, ak^2)\)에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\)이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\)축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \((a, b)\) 이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(b \ne 0\))

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = \frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\]와 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\]를 만족할 때, \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)의 최댓값이 2가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \ne -1\))

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 속도를 각각 \(v_1(t), v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t) = 2t^3 - 12t^2 + 24t, v_2(t) = \frac{3}{2}t^2 + 9a (a \ge 0)\)이다. 두 점 A, B가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.